mardi 7 mai 2019

Lire les mathématiques

Je n’ai pas en mathématiques le talent de ceux de mes camarades (Pierre Faurre, Francis Gaspalou, François Lépingle, Jean Bergougnoux, etc.) pour qui elles semblent naturelles et évidentes. Quand je lis des maths mon cerveau renâcle et réclame des explications : pourquoi l’auteur a-t-il choisi ces hypothèses-là, pourquoi sa démonstration suit-elle tel itinéraire, pourquoi ces notations-là et non pas d’autres, etc.

La lecture du livre d’un mathématicien (Grundzüge der Mengenlehre de Hausdorff, Disquisitiones Arithmeticae de Gauss) n’est pas la même que celle d’un roman. Il faut lire très lentement, sans quoi je ne comprends et ne retiens rien. Puis je dois surmonter des contrariétés car ce qui a été naturel pour l’auteur ne l’est pas nécessairement pour moi.

Voici un exemple. Au tout début de ses Disquisitiones Gauss définit ainsi la congruence : « If a number a divides the difference of the numbers b et c, b et c are said to be congruent relative to a ». Ainsi pour Gaus b ≡ c (mod a) s’il existe un entier k tel que b – c = ka.

J’avais pris l’habitude d’écrire cette condition ainsi : b = c + ka. C’est équivalent, direz-vous. Oui bien sûr, mais ces deux notations orientent chacune vers une piste différente. « b = c + ka » invite à considérer la liste des nombres congrus à c modulo a, qui s’obtient en donnant à k toutes les valeurs entières, tandis que « b – c = ka » invite à vérifier s’il existe une valeur de k telle que l’on puisse dire que b est congru à c modulo a.

Nuance négligeable, direz-vous encore. Certes, mais si Gauss a choisi de s’exprimer ainsi dès la première ligne de son traité c’est qu’il a une intention qu’il importe d’admettre, de s’assimiler pour pouvoir comprendre la suite.

« Comprendre », il est vrai, peut s’entendre à plusieurs niveaux de profondeur. Un premier niveau consiste à vérifier que ce qu’a écrit l’auteur est exact : alors la notation b – c = ka ne pose aucun problème, et la lecture des démonstrations est rapide car on connaît assez de mathématiques pour s’assurer, sans entrer dans le détail du raisonnement, de l’exactitude d’un théorème.

Mais je veux comprendre à fond, comprendre non seulement que ce que dit Gauss est vrai, mais aussi pourquoi il le dit de la façon dont il le dit. Je ne suis pas sûr, d’ailleurs, de posséder assez de mathématiques pour juger évident chacun de ses théorèmes : il faut donc que je me familiarise dès le début avec le style de ses démonstrations et, pour cela, que je les étudie en prenant bien mon temps.

J’ai d’ailleurs un obstacle à surmonter. Le cours d’arithmétique en seconde (ou en première, je ne sais plus) a été ma seule rencontre avec la théorie des nombres, qui ne figure ni dans le programme de Taupe ni dans celui de l’École polytechnique. J’ai compris alors que la congruence était l’une de ses clés, une autre étant les nombres premiers. Mais comment une chose aussi simple que la congruence peut-elle se révéler féconde ?

La fin du premier chapitre de Gauss m’a apporté une réponse : la congruence permet de démontrer les règles de divisibilité par 3, 9 et 11, démonstration que j’avais jusqu’alors vainement cherchée. Pour que Gauss se lance dans la théorie des nombres il a fallu qu’il anticipe cette fécondité : qu’est-ce qui a éveillé son intuition ?

*     *

La lecture attentive, lente, répétée, de l’œuvre d’un mathématicien créateur (Newton, Lagrange, Poincaré, Riemann, etc.) est un voyage en compagnie d’un grand esprit, chacun ayant son style propre. À la réflexion, la différence avec la lecture des œuvres littéraires me semble moins grande que je ne l’ai dit plus haut : quand je relis La Fontaine, Pouchkine, Tolstoï, Proust, Colette, etc. j’y trouve des choses nouvelles et m’arrête longuement sur certains paragraphes...

La différence réside dans la première lecture. Celle d’un bon texte littéraire semble facile mais ne révèle qu’une toute petite partie de sa richesse. Celle d’un texte mathématique est par contre des plus pénibles : mon cerveau, réticent, refuse d’abord hypothèses et notations, se demande à quoi tout cela peut servir, à quoi l’auteur a pu penser, quelles étaient ses intentions, qu’est-ce qui a guidé son intuition, etc.

J’éprouve d’ailleurs la même difficulté lorsque je relis après quelques mois mes propres travaux mathématiques, qui semblaient pourtant évidents pendant que j’écrivais.

Comme j’admire, comme j’envie ceux de mes camarades qui possèdent un talent naturel pour les maths et pour qui tout cela ne présente aucune difficulté !

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