Caroline Ehrhardt, Évariste Galois, EHESS, 2011

Tout le monde connaît l'histoire d’Évariste Galois (1811-1832) : chercheur créatif en mathématiques en même temps qu'étudiant, il est chassé de l’École normale pour indiscipline, milite dans le camp républicain et se fait tuer en duel à vingt ans. Ses travaux, que l'Académie a refusés de son vivant, seront redécouverts à partir de 1846.

Dans ces textes concis, abstraits et d'une lecture très difficile, les mathématiciens ultérieurs ont trouvé de quoi légitimer opportunément leurs propres travaux. Leur interprétation s'est ainsi élargie progressivement : on y a trouvé successivement une théorie des équations, une théorie des groupes et des structures algébriques, enfin l'esprit des mathématiques modernes elles-mêmes tout entier.

Il est difficile de se faire une idée exacte de la personne de Galois car les archives sont pauvres (peut-on d'ailleurs se faire une idée exacte d'une personne, quelles que soient les archives dont on dispose ?). Il est vraisemblable qu'il ne correspondait pas exactement aux mythes qui ont été construits autour de son nom.

Il est peu douteux en tout cas qu'il ait possédé le génie mathématique qu'on lui attribue, et pour une raison très simple : il avait l'âge du génie en mathématiques. C'est en effet autour de 18-20 ans que le cerveau est le plus créatif. Si quelqu'un se passionne à cet âge-là pour les mathématiques, s'il a reçu auparavant l'instruction qui permet de raisonner avec justesse, si enfin les circonstances lui font rencontrer des personnes ou des textes rendant compte de l'état des recherches, il peut aller loin et trouver des résultats qui échapperaient à un mathématicien d'âge mûr. Ces trois conditions ayant été réunies pour Galois, la précocité de son talent était conforme à la nature.

Il n'est pas douteux non plus qu'il ait été un républicain exalté, les témoignages le montrent. Là aussi, c'est une question d'âge : dans l'extrémisme de Galois on reconnaît le tempérament généreux et les illusions qui ont, plus près de nous, animé d'autres révolutionnaires en herbe.

Que serait devenu Galois s'il ne s'était pas fait tuer ? L’Académie, qui n'était pas aussi malveillante qu'il ne le croyait, aurait fini par accepter ses travaux pour peu qu'il ait fait l'effort de s'expliquer clairement. Il aurait fait carrière dans l'université : peut-être aurait-il conservé la flamme du génie, peut-être se serait-elle éteinte comme chez tant d'autres ; peut-être aurait-il aussi conservé l'esprit révolutionnaire, peut-être se serait-il embourgeoisé comme tant de nos maoïstes des années 1960 : nous n'en saurons jamais rien.

Il ne faut pas s'exagérer l'originalité de ses travaux. Il s'est intéressé aux conditions de résolution des équations algébriques : cette question préoccupait les mathématiciens de son temps et ses prédécesseurs (Abel, Cauchy, Gauss) avaient déjà pensé à la traiter en considérant un groupe de permutations.

L'originalité de Galois réside plutôt, me semble-t-il, dans son style en mathématiques. Alors que d'autres croient devoir étayer leur propos par des calculs et des exemples, il place son raisonnement à un niveau de généralité qui lui permet d'accéder directement au résultat selon une démarche semblable à celle que Nietzsche évoque dans La philosophie à l'époque tragique des Grecs : « On croit voir deux voyageurs au bord d'un torrent sauvage qui roule des pierres avec lui : le premier saute d'un pied léger, utilisant les pierres en progressant de l'une à l'autre, bien qu'elles s'effondrent brusquement derrière lui ; l'autre reste sur la rive, cherchant en vain une aide ; il lui faut d'abord construire les fondations qui supporteront son pas lourd et prudent ».

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Le style de Galois n'étant pas celui de son époque, il ne pouvait pas être immédiatement compris par ses contemporains. C'est ce style, bien plus que le contenu de ses travaux, qui fait de lui me semble-t-il un précurseur des mathématiques modernes. Mais ce style présente un risque pour la pédagogie des mathématiques, donc pour la formation des mathématiciens et finalement pour la discipline elle-même.

Il consiste à prendre comme point de départ du raisonnement les concepts les plus abstraits auxquels puisse aboutir une longue méditation. Les structures (groupes, corps, anneaux, idéaux, modules etc.), présentées selon une nomenclature qui se ramifie comme en zoologie, deviennent alors des êtres que l'on considère pour eux-mêmes : l'un des volumes du traité de Bourbaki s'intitule par exemple « Modules sur anneaux semi-simples », et c'est par dérision, sans doute, que ses auteurs prétendent qu'on puisse le lire sans posséder aucune connaissance préalable en mathématiques.

La pédagogie emprunte ainsi une démarche inverse à celle de la recherche. Celle-ci est en effet inductive et c'est une sensibilité esthétique qui oriente le mathématicien vers les axiomes les plus féconds. Ses résultats, par contre, sont présentés de façon « rigoureusement » déductive. Imaginez que l'on enseigne l'alpinisme en ne pratiquant que la descente et jamais l'escalade : c'est ce que fait la pédagogie des maths.

Or le cerveau humain ne peut loyalement assimiler une abstraction que s'il en perçoit la nécessité logique. Poser la définition des groupes ne peut donc rien apporter à quelqu'un qui n'a jamais manipulé des permutations ou des rotations et il faut avoir pratiqué les nombres réels et les nombres complexes pour entrevoir l'utilité du concept de corps, avoir exploré la théorie des nombres pour voir à quoi correspond le concept d'anneau.

Tout comme Galois a gribouillé dans ses brouillons des calculs dont ses textes destinés à la publication ne conservent pas la trace, les mathématiciens bien formés savent exactement ce que contient chaque structure. Mais ils n'en parlent pratiquement jamais et ils se refusent à dévoiler à leurs étudiants les schémas simples qu'ils ont en tête : ils croient que ce ne serait pas « rigoureux ».

Il m'est arrivé de dire à des auteurs de travaux ingénieux mon étonnement devant leur présentation excessivement abstraite. « Il faut bien que les étudiants s'en chient », m'a dit l'un d'eux ; « c'est ma thèse, si le jury avait compris il m'aurait emmerdé », m'a dit un autre. Ces phrases, que je cite ici telles quelles et avec la crudité du langage oral, ne révèlent-elles pas une dégradation de l'esprit scientifique ?

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Tout comme les musiciens modernes, qui les ont imités, la plupart des mathématiciens modernes se font gloire d'être incompréhensibles. Cela leur permet de former une toute petite élite, certes divisée par d'inexpiables conflits de priorité mais solidaire dans le sentiment de sa supériorité sur la simple humanité. Ils dédaignent les « maths appliquées » pour cultiver les « maths pures », c'est-à-dire poussées à l'extrême degré de l'abstraction : mais ces « maths pures » ne seront-elles pas stériles si elles restent indéfiniment vierges ?

Je n'entends pas céder ici à une quelconque facilité : je ne réclame pas que la lecture d'un texte mathématique soit aussi facile que celle d'un roman, je sais bien que tout exposé doit partir de quelques énoncés abstraits dont il déploie les implications.

Mais il faut que la nécessité logique d'une abstraction soit perceptible au moment où on l'énonce : sinon on contraint le lecteur, l'étudiant, à une servilité de bon élève qui, étant contraire à l'esprit même des mathématiques, répugne aux meilleurs et les écarte de la discipline. Mieux vaut donc partir des nombres, des vecteurs, des tenseurs, plutôt que des structures : elles ne peuvent être que l'aboutissement d'une méditation qui, portant sur la chair d'êtres mathématiques longuement étudiés et bien connus, vise à mettre en ordre la conscience des nécessités auxquelles ils obéissent.

Voici un exemple : en analyse des données, l'analyse canonique généralisée englobe toutes les méthodes d'analyse factorielle comme autant de cas particuliers. J'ignore s'il existe un professeur qui procède en commençant « logiquement » par elle mais il serait un bien mauvais pédagogue : mieux vaut étudier d'abord les méthodes les plus pratiques (analyse en composantes principales, analyse factorielle des correspondances) et n'introduire l'analyse canonique que lorsque la généralisation formelle qu'elle procure aide à mettre de l'ordre dans les idées acquises, auparavant, en explorant les autres méthodes et en découvrant leurs secrets.

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Le destin de Galois a suscité toute une littérature qui déplore la mort prématurée d'un « génie mathématique » doublé d'un « héros républicain ». Sa personne, devenue ainsi célèbre et figée comme en une statue, a subi les déformations qu'impose la célébrité et sert d'alibi à des ambitions et à des corporatismes qu'avec son intransigeance juvénile il aurait sans doute méprisés.