La réalité des êtres mathématiques

L’enseignement de la physique confronte souvent l’étudiant à des êtres mathématiques énigmatiques.

Ainsi l’équation 1/x + 1/x’ = 1/f du cours élémentaire d’optique en seconde exprime x’ comme fonction homographique de x : x’ = xf/(x – f). Lorsque je l’ai rencontrée elle m’était étrangère : je n’avais pas encore étudié la fonction homographique en maths. Lorsque le cours de maths m’a permis de la connaître à fond, le voile s’est levé et le cours élémentaire d’optique n’a plus présenté de difficulté.

Quels sont les êtres mathématiques avec lesquels sa formation a progressivement familiarisé un étudiant ?
– le plan avec la droite, les angles, le triangle, le cercle, l’homothétie, l’inversion et divers théorèmes (Thalès, Pythagore, etc.) ;
– l’espace à trois dimensions avec le plan, la sphère, le cone, l’hyperboloïde, etc. ;
– les nombres (entiers, rationnels, réels, complexes) ;
– l’espace vectoriel, les tenseurs ;
– l’algèbre, les équations ;
– les fonctions, le calcul différentiel et intégral ;
– la statistique, les probabilités, etc.

Chacun de ces êtres présentant à l’intellect un monde à explorer, il faut un apprentissage pour y trouver ses repères et se familiariser, comme avec une personne ou une langue étrangère. Certains peinent longtemps, d’autres apprennent vite, mais pour les uns comme pour les autres l’apprentissage est nécessaire.

Ces êtres mathématiques s’expriment sobrement, dans le monde de la pensée, sous la forme d’axiomes et de raisonnements. Leurs inventeurs ont cependant le plus souvent répondu au désir de reproduire mentalement un phénomène physique afin de le soumettre au calcul : la relation entre la physique et les maths est organique, elle ne se réduit pas à un formalisme¹.

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L’enseignement d’un domaine de la physique devrait donc, s’il était de bonne qualité pédagogique, procurer d’abord à l’étudiant la maîtrise de l’être mathématique qui lui permettra de se représenter ses phénomènes. Le cours de maths devrait idéalement précéder le cours de physique, à défaut le cours de physique devrait commencer par des maths : le cours d’optique par l’étude de la fonction homographique, le cours de mécanique quantique par celle de l’espace de Hilbert, le cours de relativité générale par celle de l’espace de Riemann, etc.

Il n’en est rien parce que les programmes sont mal coordonnés, et aussi parce que la séparation des disciplines empêche le prof de physique de faire un bon cours de maths.

L’étudiant qui aborde en physique un domaine nouveau rencontre alors une difficulté double : à la compréhension des phénomènes, déjà difficile par elle-même, s’ajoute celle d’un être mathématique auquel le cours le confronte alors qu’il ne s’y est pas familiarisé, et sans lui donner les éléments qui lui permettraient de faire son apprentissage.

Le cours est alors en toute rigueur incompréhensible, si l’on entend « comprendre » selon toute l’étendue de son exigence. Cela ne gênera pas beaucoup des étudiants dociles et dotés d’une bonne mémoire, mais cela ne peut que révolter ceux qui, prenant la science au sérieux, refusent d’apprendre ce qu’il leur est impossible de comprendre. Les meilleurs esprits récolteront alors les plus mauvaises notes !

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Lorsque j’ai dû faire le cours d’analyse des données à l’ENSAE j’ai commencé par un chapitre de mathématiques contenant les définitions, démonstrations et notations nécessaires à la représentation physique des données. Les diverses méthodes d’analyse factorielle ont pu ensuite être présentées comme des cas particuliers, leur description étant allégée d’autant pour se focaliser sur ce que chacune a de spécifique : les étudiants ont été reconnaissants.

Un cours de physique bien fait illustre par ailleurs utilement les êtres mathématiques qu’il évoque : la réalité tangible des phénomènes confère une légitimité aux axiomes, les libérant de l’arbitraire auquel une présentation formelle « à la Bourbaki » semblait les condamner.

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¹ Que l'on pense par exemple à Riemann (Detlef Laugwitz, Bernhard Riemann 1826–1866: Turning Points in the Conception of Mathematics, Springer, 2009).